6．已知雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，試問：是否存在過點A（2，1）的直線與雙曲線交于相異兩點P、Q．且點A平分線段PQ？

分析 假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出P，Q的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減，根據(jù)中點的坐標可知x1+x2和y1+y2的值，進而求得直線PQ的斜率，根據(jù)點斜式求得直線的方程，再加以檢驗即可判斷．

解答 解：假設(shè)存在這樣的直線，點A平分線段PQ．
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則x1+x2=4，y1+y2=2，
∵4x12-y12=4，4x22-y22=4，
∴16（x1-x2）-2（y1-y2）=0，
∴kPQ=8，
∴直線的方程為y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．
聯(lián)立雙曲線方程，消去y，可得60x2-240x+229=0，
由判別式為2402-4×60×229＞0，
可得存在這樣的直線，點A平分線段PQ．

點評 涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化．

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