Question

16．函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+m|（m＞0）．
（1）若m=2，求f（x）≤3的解集；
（2）若f（x）≤3對(duì)任意x∈[-2，-m]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=2時(shí)得到，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2x-1}&{x＜-2}\\{3}&{-2≤x≤1}\\{2x+1}&{x＞1}\end{array}\right.$，求出每段上函數(shù)f（x）的范圍，這樣便能得出f（x）≤3的解；
（2）先根據(jù)x的范圍，可去絕對(duì)值號(hào)得到f（x）=-2x+1-m，從而看出該函數(shù)在[-2，-m]上單調(diào)遞減，從而f（-2）=5-m是f（x）的最大值，這樣根據(jù)條件即可得到5-m≤3，這樣便可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）m=2時(shí)，f（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1}&{x＜-2}\\{3}&{-2≤x≤1}\\{2x+1}&{x＞1}\end{array}\right.$；
∴①x＜-2時(shí)，f（x）=-2x-1＞f（-2）=3；
②-2≤x≤1時(shí)，f（x）=3；
③x＞1時(shí)，f（x）=2x+1＞3；
∴f（x）≤3的解集為[-2，1]；
（2）x∈[-2，-m]；
∴f（x）=-2x+1-m，該函數(shù)在[-2，-m]上單調(diào)遞減；
∴f（x）≤f（-2）=5-m；
∵f（x）≤3對(duì)于任意x∈[-2，-m]恒成立；
∴5-m≤3；
∴m≥2；
∴m的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，分段函數(shù)值域的求法，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值．