Question

13．已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入得f（x）=xlnx，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出極值，得到函數(shù)最值；
（2）由f（x）≤0得a≥$\frac{lnx}{x}$恒成立，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，只需求$\frac{lnx}{x}$的最大值即可；
（3）先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象由兩個交點，在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解（1）f（x）=xlnx
f'（x）=lnx+1
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f'（x）＜0，f（x）遞減
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增
∴f（x）的最小值為f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（2）f（x）≤0
∴a≥$\frac{lnx}{x}$恒成立
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$則h'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
當(dāng)x∈（0，e）時，h'（x）＞0，h（x）遞增
當(dāng)x∈（e，+∞）時，h'（x）＜0，h（x）遞減
∴h（x）的最大值為h（e）=$\frac{1}{e}$
∴a≥$\frac{1}{e}$
（3）f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），
函數(shù)f（x）=x（lnx-ax），則f′（x）=lnx-2ax+1，
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個零點，
等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點，
在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）
當(dāng)a=時，直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點．
則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值，恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題，函數(shù)的零點以及數(shù)形結(jié)合方法．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷