Question

函數f（x）=的零點個數為（ ）
A．4
B．3
C．2
D．無數個

Answer 1

【答案】分析：根據函數的解析式，分類討論，當x≤0時，f（x）=x+cosx，求導，判斷導數的符號，確定函數的單調性，根據f（0）=1＞0，x→-∞時，f（x）→-∞，從而求得函數零點的個數；當x＞0時，f（x）=，求導，判斷導數的符號，確定函數的單調性和極值，根據f（2）=＜0，f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→+∞，從而求得函數零點的個數．
解答：解：當x≤0時，f（x）=x+cosx，
f′（x）=1-sinx≥0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，且f（0）=1＞0，x→-∞時，f（x）→-∞，
∴f（x）在（-∞，0）上有一個零點；
當x＞0時，f（x）=，
f′（x）=x²-4=0，
解得x=2或x=-2（舍），
∴當0＜x＜2時，f′（x）＜0，當x＞2時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
且f（2）=＜0，f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）上有兩個零點；
綜上函數f（x）=的零點個數為3個，
故選B．
點評：此題考查了函數零點問題，函數的零點個數問題實際上就是函數圖象與x軸的交點個數問題，體現了轉化的思想，利用導數研究函數的單調性和極值，從而確定函數的零點個數等基礎題，同時考查了知識的靈活運用和運算能力．