Question

2．已知sinα+cosα=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π），求下列各式的值：
（1）sinα-cosα；
（2）sin²（$\frac{π}{2}$-α）-cos²（$\frac{π}{2}$+α）．

Answer 1

分析 （1）把已知等式兩邊平方，求出2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，再由sinα-cosα=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$求得sinα-cosα；
（2）利用誘導(dǎo)公式及倍角公式變形即可求得答案．

解答 解：（1）由sinα+cosα=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，得1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，
則sinα-cosα=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$=$\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{14}{9}}$=$\frac{4}{3}$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{\sqrt{2}}{3}}\\{sinα-cosα=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得sinα=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$．
∴sin²（$\frac{π}{2}$-α）-cos²（$\frac{π}{2}$+α）=cos²α-sin²α=cos2α
=1-2sin²α=$1-2×（\frac{4+\sqrt{2}}{6}）^{2}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦，考查了由已知角的三角函數(shù)值求未知角的三角函數(shù)值，考查計(jì)算能力，屬中檔題．