Question

6．某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失�。�

	晉級成功	晉級失敗	合計
男	16
女			50
合計

（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)？
（Ⅲ）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．
（參考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率和為1，列出方程求a的值；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，
填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，
知隨機(jī)變量X服從二項分布，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望；

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，
可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25，
所以晉級成功的人數(shù)為100×0.25=25（人），
填表如下：

	晉級成功	晉級失敗	合計
男	16	34	50
女	9	41	50
合計	25	75	100

假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，
根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得${K^2}=\frac{{100×{{（16×41-34×9）}^2}}}{25×75×50×50}≈2.613＞2.072$，
所以有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；
（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75，
將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，
這人晉級失敗的概率為0.75，
所以X可視為服從二項分布，即$X～B（4，\frac{3}{4}）$，
$P（X=k）=C_4^k{（\frac{3}{4}）^k}{（\frac{1}{4}）^{4-k}}（k=0，1，2，3）$，
故$P（X=0）=C_4^0{（\frac{3}{4}）^0}{（\frac{1}{4}）^4}=\frac{1}{256}$，
$P（X=1）=C_4^1{（\frac{3}{4}）^1}{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{3}{64}$，
$P（X=2）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{54}{256}$，
$P（X=3）=C_4^3{（\frac{3}{4}）^3}{（\frac{1}{4}）^1}=\frac{108}{256}$，
$P（X=4）=C_4^4{（\frac{3}{4}）^4}{（\frac{1}{4}）^0}=\frac{81}{256}$，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P（X=k）	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

數(shù)學(xué)期望為$E（X）=4×\frac{3}{4}=3$，
或（$E（X）=\frac{1}{256}×0+\frac{3}{64}×1+\frac{54}{256}×2+\frac{108}{256}×3+\frac{81}{256}×4=3$）．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，是中檔題．