Question

如圖，M、N、P分別是正方體的棱AB、BC、DD₁上的點．
（1）若，求證：無論點P在D₁D上如何移動，總有BP⊥MN；
（2）若D₁P：PD=1：2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M-B₁N-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1））證法一：連AC、BD，則BD⊥AC，通過，證明MN⊥平面BDD₁．總有MN⊥BP．
證法二：連接AC、BD，則AC⊥BD．利用，證明MN⊥PB．可得總有BP⊥MN；
（2）解法一：過P作PG⊥C₁C交CC₁于G，連BG交B₁N于O₁，說明∠MO₁B就是二面角M-B₁N-B的平面角，利用△MO₁B求解即可．
解法二：設(shè)BD與MN相交于F，連接B₁F，設(shè)二面角B-B₁N-M的平面角為α，則cosα=，求解即可．
解答：解：（1）證法一：連AC、BD，則BD⊥AC，
∵，∴MN∥AC，∴BD⊥MN．
又∵DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁⊥MN，
∴MN⊥平面BDD₁．
∵無論點P在DD₁上如何移動，總有BP?平面BDD₁，
故總有MN⊥BP．
證法二：連接AC、BD，則AC⊥BD．
∵，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD，
由三垂線定理得：MN⊥PB．
（2）解法一：過P作PG⊥C₁C交CC₁于G，連BG交B₁N于O₁，
∵PB⊥平面B₁MN，∴PB⊥B₁N．
又∵PG⊥平面B₁BCC₁，∴BG⊥B₁N，∴△BB₁N≌△BCG，∴BN=CG，NC=GC₁，
∴BN：NC=DP：PD₁=2：1．
同理BM：MA=DP：PD₁=2：1．
設(shè)AB=3a，則BN=2a，∴，
=，
連MO₁，∵AB⊥平面B₁BCC₁，∴MO₁⊥B₁N，
∵∠MO₁B就是二面角M-B₁N-B的平面角，
，
∴．
解法二：設(shè)BD與MN相交于F，連接B₁F，
∵PB⊥平面MNB₁，∴PB⊥B₁F，PB⊥MN，
∴在對角面BB₁D₁D內(nèi)，△PBD∽△BB₁F，
設(shè)BB₁=DD₁=3，則PD=2，BD=3，∴，即，故BF=．
∵MN⊥PB，由三垂線定理得MN⊥BD，MN∥AC，MN=2BF=2，BN=2，
．
設(shè)二面角B-B₁N-M的平面角為α，則cosα====，
．
點評：本題是中檔題，考查直線與直線的垂直的證明方法，二面角的求法，考查空間想象能力，計算能力．