Question

5．已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=log₄（a$•{2}^{x}-\frac{4}{3}a$）（a≠0），g（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}x$的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1或a=-3}．．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，化簡(jiǎn)得出即可得到結(jié)論

解答 g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即
方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解
由已知得log₄（4^x+1）$-\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），

∴l(xiāng)og₄（$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
方程等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a＞0}\\{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}=a•{2}^{x}-\frac{4}{3}a}\end{array}\right.$，
設(shè)2^x=t，t＞0，則（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0有一解
若a-1＞0，設(shè)h（t）=（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1，
∵h(yuǎn)（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1滿足題意
若a-1=0，即a=1時(shí)，h（t）=-$\frac{4t}{3}$-1，由h（t）=0，得t=-$\frac{3}{4}$＜0，不滿足題意
若a-1＜0，即a＜1時(shí)，由△=（-$\frac{4}{3}$）²-4（a-1）×（-1）=0，得a=-3或a=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)a=-3時(shí)，t=$\frac{1}{2}$滿足題意
當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時(shí)，t=-2（舍去）
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1或a=-3}．
故答案為：{a|a＞1或a=-3}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的運(yùn)用，以及對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，做難題的意志能力．