Question

（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

5

2

，-

3

2

），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，0）和（0，1），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由橢圓定義能求出a=

10

，又c=2，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．由橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，0），（0，1），求出a=2，b=1，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y²=1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0）．由橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，0）、（0，1），解得a=1，b=2，與a＞b矛盾，故舍去．

解答： 解：（1）∵橢圓焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由橢圓定義知2a=

( 5 2 +2)2+(- 3 2 )2

+

( 5 2 -2)2+(- 3 2 )2

=2

10

，
解得a=

10

，又c=2，
∴b²=10-4=6，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

10

+

y2

6

=1．
（2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
∵橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，0），（0，1），
∴

4 a2 + 0 b2 =1 0 a2 + 1 b2 =1

，解得a=2，b=1，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y²=1；
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，
設(shè)所求橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0）．
∵橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，0）、（0，1），
∴

0 a2 + 4 b2 =1 1 a2 + 0 b2 =1

，解得a=1，b=2，與a＞b矛盾，故舍去．
綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y²=1．其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．