Question

已知函數(shù)
（1）若的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值。

Answer 1

解：（1）……1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211950955383.png" style="vertical-align:middle;" />為的極值點(diǎn)，所以
即，解得，又當(dāng)時(shí)，，從而為的極值點(diǎn)成立。…………2分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211950971447.png" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立�！�………3分
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意�！�………4分
②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必有對(duì)成立，
故只能…………5分
故對(duì)恒成立
令，其對(duì)稱軸為
從而要使對(duì)恒成立，只要即可…………6分
  解得：
，故
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為…………7分
（3）若時(shí)，方程可化為，．
問題轉(zhuǎn)化為在上有解，
即求函數(shù)的值域．………………………………8分
以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：
解法一：，令
則…………9分
所以當(dāng)時(shí)，，從而在上為增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，從而上為減函數(shù)
因此…………10分
而，故…………11分
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值………12分
解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211952250798.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
設(shè)，則………9分
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211952484506.png" style="vertical-align:middle;" />，故必有，又…10分
因此必存在實(shí)數(shù)使得
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減………11分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232119527801579.png" style="vertical-align:middle;" />
當(dāng)時(shí)，，則，又
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。主要是極值的概念和根據(jù)單調(diào)區(qū)間，求解參數(shù)的取值范圍，以及利用函數(shù)與方程的思想求解參數(shù)b的最值。