Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，設(shè)F是雙曲線的左焦點，e是雙曲線的離心率，若△ABF為等腰三角形，且∠A=90°，則e²=（　�。�

• A、4-2

  2

• B、5-2

  2

• C、6-2

  3

• D、7-2

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線的右焦點為F'，設(shè)AF'=t，由雙曲線的定義可得AF=2a+t，再由等腰直角三角形ABF，可得BF'，BF，運用勾股定理，可得t，進(jìn)而得到a，c的關(guān)系，再由離心率公式計算即可得到．

解答： 解：設(shè)雙曲線的右焦點為F'，
設(shè)AF'=t，
由雙曲線的定義可得AF=2a+t，
又AF=AB，則BF'=AB-AF'=2a，
由雙曲線的定義可得BF=4a，
在直角三角形ABF中，
BF²=AF²+AB²，
則16a²=2（2a+t）²，
解得t=2（

2

-1）a，
再在直角三角形AFF'中，
FF'²=AF²+AF'²，
即有4c²=（2

2

a）²+4（

2

-1）²a²，
即有c²=（5-2

2

）a²，
即有e²=

c2

a2

=5-2

2

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查勾股定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．