Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²+x在區(qū)間（0，2）上是單調增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為a≥1．

Answer 1

分析 已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²+x在區(qū)間（0，2）上單調遞增，對其進行求導轉化成f′（x）＞0在x∈（0，2）恒成立，從而求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²+x在區(qū)間（0，2）上單調遞增，
∴f′（x）=ax²-2x+1≥0，在x∈（0，2）恒成立，
∴a≥$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，在x∈（0，2）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，x∈（0，2），
g′（x）=$\frac{-2x+2}{{x}^{3}}$＜0，
故g（x）在（1，2）遞減，（0，1）是增函數(shù)，函數(shù)的最大值為：g（1）=1，
故g（x）≥g（1）=1，
故a≥1，
故答案為：a≥1．

點評 此題主要考查函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，將問題轉化為二次函數(shù)的恒成立，是一道中檔題．