Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+α_n•sin（x+α_n），其中α_i（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）為已知實(shí)常數(shù)，x∈R，則下列命題中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、若f（0）=f（

  π

  2

  ）=0，則f（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立
• B、若f（0）=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
• C、若f（

  π

  2

  ）=0，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
• D、當(dāng)f²（0）+f²（

  π

  2

  ）≠0時(shí)，若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=2kπ（k∈Z）

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：A．由若f（0）=f（

π

2

）=0，證明函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)即可得到f（0）=0；
B．根據(jù)奇函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
C．根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論；
D．根據(jù)f（x₁）=f（x₂）=0，得（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），故可得結(jié)論．

解答： 解答：解：A．若f（0）=0，則f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
則f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）
=cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
若f（

π

2

）=0，則f（

π

2

）=-a₁•cosα₁-a₂•cosα₂+…-a_n•cosα_n=0，
∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）
=sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
則若f（0）=f（

π

2

）=0，則函數(shù)f（x）為既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，即f（x）=0，
∴f（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；故A正確．
B．由A的證明過程可知當(dāng)f（0）=0時(shí)，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，正確．
C．由A的證明過程可知當(dāng)f（

π

2

）=0時(shí)，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，正確．
D當(dāng)f²（0）+f²（

π

2

）≠0時(shí)，若f（x₁）=f（x₂）=0，
則f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，
∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n）=0，
∴sinx₁-sinx₂=0
可得x₁-x₂=kπ（k∈Z）．∴D錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，主要考查三角函數(shù)的化簡，考查新定義三角函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．