Question

在△ABC中，若sin（2π-A）=-

2

sin（π-B），

3

cosA=-

2

cos（π-B），則△ABC的三個(gè)內(nèi)角中最小角的值為

π

6

．

Answer 1

分析：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的兩等式，得到的關(guān)系式分別記作①和②，①²+②²，并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，得出cos²A的值，開(kāi)方可得cosA的值，同時(shí)由

①

②

，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切得到tanA與tanB的關(guān)系，再利用正弦定理化簡(jiǎn)關(guān)系式①，得到a與b的關(guān)系，可得a大于b，根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角可得A大于B，然后由cosA的值分兩種情況考慮：當(dāng)cosA為正值時(shí)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而求得tanA的值，可得tanB的值，由A大于B，得到B為最小角，可得三角形最小角的度數(shù)；當(dāng)cosA為負(fù)值時(shí)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A為鈍角，進(jìn)而得到tanA值為負(fù)，可得tanB的值也為負(fù)值，進(jìn)而確定出B為鈍角，三角形中不能有兩角為鈍角，故此情況不成立，綜上，得到三角形最小角的度數(shù)．

解答：解：把已知的等式化簡(jiǎn)得：-sinA=-

2

sinB，即sinA=

2

sinB①，

3

cosA=

2

cosB②，
①²+②²得：sin²A+3cos²A=2sin²B+2cos²B，即1+2cos²A=2，
∴cos²A=

1

2

，即cosA=

2

2

或cosA=-

2

2

，
又

①

②

得：tanA=

3

tanB，
利用正弦定理化簡(jiǎn)①得：a=

2

b，即a＞b，則有A＞B，
若cosA=

2

2

時(shí)，A=

π

4

，即tanA=1，
則有tanB=

3

3

，此時(shí)B為最小角，
∴B=

π

6

；
若cosA=-

2

2

時(shí)，A=

3π

4

，即tanA=-1，則有tanB=-

3

3

，
∴B=

5π

6

，矛盾，
故cosA=-

2

2

不成立，
綜上，△ABC的三個(gè)內(nèi)角中最小角的值為

π

6

．
故答案為：

π

6

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，三角形的邊角關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類(lèi)討論的思想，解題的關(guān)鍵是靈活變換已知的兩等式．