Question

已知函數(shù)f(x)=ex-

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x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=e^x-x-a，從而f′（0）=1-a=2，解得：a=-1，得f（x）=e^x-

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x²+x，解得：b=1．
（Ⅱ）由題意f′（x）＞0，即e^x-x-a≥0恒成立，得a≤e^x-x恒成立，設(shè)h（x）=e^x-x，求出h（x）_min=h（0）=1，從而a≤1．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x-x-a，
∴f′（0）=1-a=2，解得：a=-1，
∴f（x）=e^x-

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x²+x，
∴f（0）=1，
∴1=2×0+b，解得：b=1．
（Ⅱ）由題意f′（x）＞0，即e^x-x-a≥0恒成立，
∴a≤e^x-x恒成立，
設(shè)h（x）=e^x-x，則h′（x）=e^x-1，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，
令h′（x）＜0，解得：x＜0，
∴h（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴h（x）_min=h（0）=1，
∴a≤1．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道基礎(chǔ)題．