Question

18．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4+3cost}\\{y=5+3sint}\end{array}}\right.$（其中t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ
（1）求曲線C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（2）若A、B分別為曲線C₁，C₂上的動點，求當|AB|取最小值時△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4+3cost}\\{y=5+3sint}\end{array}}\right.$（其中t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標方程．
（2）當A，B，C₁，C₂四點共線，且A，B在線段C₁C₂上時，|AB|取最小值，求出|AB|長，及原點到直線的距離，可得此時△AOB的面積．

解答 解：（1）由曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4+3cost}\\{y=5+3sint}\end{array}}\right.$（其中t為參數(shù)），
可得曲線C₁的普通方程為：（x-4）²+（y-5）²=9，
由曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
將ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入得：
C₂的直角坐標方程為：x²+y²=2y，配方為x²+（y-1）²=1．
（2）如圖，當A，B，C₁，C₂四點共線，且A，B在線段C₁C₂上時，|AB|取最小值，

由（1）得：C₁（4，5），C₂（0，1），
∴${k}_{{C}_{1}{C}_{2}}=\frac{5-1}{4-0}$=1，
故直線C₁C₂的方程為：x-y+1=0，
∴點O到直線C₁C₂的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵|AB|=|C₁C₂|-1-3=4$\sqrt{2}$-4，
故△AOB的面積S=2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角形面積公式、點到直線的距離公式公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．