已知函數(shù)f(x)=ax3+3bx2-(a+3b)x+1(ab≠0)在x=1處取得極值,在x=2處的切線平行于向量
OP
=(b+5,5a).
(1)求a,b的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在正整數(shù)m,使得方程f(x)=6x-
16
3
在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等實(shí)根?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)由函數(shù)f(x)=ax3+3bx2-(a+3b)x+1(ab≠0)在x=1處取得極值,且在x=2處的切線斜率值k,求導(dǎo),可得1是f′(x)=0的兩根,且f′(0)=k,解方程組即可求得,a,b的值,從而求得f(x)的解析式;
(2)先把方程f(x)=6x-
16
3
等價(jià)于18x3-36x2+19=0
,在求出g(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷出g(x)的圖象變化規(guī)律,再利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷是否存在正整數(shù)m滿足要求.
解答:解:(1)f'(x)=3ax2+6bx-(a+3b)
f′(1)=0
f′(2)=
5a
b+5
解得
a=6
b=-4
…(4分)
得f(x)=6x3-12x2+6x+1
∴f'(x)=18x2-24x+6=6(3x-1)(x-1),
f′(x)>0,得x>1或x<
1
3
,即f(x)在(1,+∞)和(-∞,
1
3
)
上單調(diào)遞增.
f′(x)<0,得
1
3
<x<1,即f(x)在(
1
3
,1)
上單調(diào)遞減 …(8分)
(2)方程f(x)=6x-
16
3
等價(jià)于18x3-36x2+19=0

令g(x)=18x3-36x2+19
g′(x)=54x2-72x=18x(3x-4).令g′(x)=0,得x=0或x=
4
3

當(dāng)x∈(0,
4
3
)時(shí),g′(x)<0
,∴g(x)是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)x∈(
4
3
,+∞)時(shí),g′(x)>0
,∴g(x)是單調(diào)增函數(shù);
g(1)=1>0,g(
4
3
)=-
7
3
<0,g(2)=19>0

∴方程g(x)=0在區(qū)間(1,
4
3
),(
4
3
,2)
內(nèi)分別有唯一實(shí)根.…(12分)
∴存在正整數(shù)m=1,使得方程f(x)=6x-
16
3
在區(qū)間(1,2)上有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.…(14分)
點(diǎn)評(píng):此題是中檔題.考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題,和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
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