Question

已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

AB

²=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

（1）判斷△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍．
（2）如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在l₁、l₂上運(yùn)動(dòng)，AC=2，BC=1，若直線l₁⊥直線l₂ ，且相交于點(diǎn)O，求O，B間距離的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合余弦定理，判斷三角形為直角三角形，再利用輔助角公式，可求sinA+sinB的取值范圍．
（2）不妨設(shè)∠AOC=θ，B（x，y），則x=2cosθ+sinθ，y=cosθ，表示出|OB|，利用輔助角公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，
∴c²=c•bcosA+c•acosB+b•acosC，
∴c2=c•b

c2+b2-a2

2cb

+c•a

c2+a2-b2

2ca

+b•a

a2+b2-c2

2ab

，
∴c²=a²+b²，
∴為直角三角形，
∴sinA+sinB═sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，
∵A∈(0，

π

2

)，
∴A+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)，
∴sin(A+

π

4

)∈(

2

2

，1]，
∴sinA+sinB∈（1，

2

]；
（2）簡解：不妨設(shè)∠ACO=θ，θ∈[0，

π

2

]，B（x，y），則x=2cosθ+sinθ，y=cosθ，
∴|OB|2=x2+y2=2

2

sin(2θ+

π

4

)+3∈[1，3+2

2

]，
∴|OB|∈[1，1+

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出

AB

²=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，判斷三角形的形狀，考查輔助角公式的運(yùn)用，正確運(yùn)用輔助角公式是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．