Question

已知集合A={2,4,a³-2a²-a+7},B={-4,a+3,a²-2a+2,a³+a²+3a+7},若A∩B={2,5},求實數a的值,并求A∪B.

Answer 1

a=2,且A∪B={-4,2,4,5,25}
主要考查集合的交集、并集運算。解答此題，首先利用A∩B={2,5}，A={2,4,a³-2a²-a+7}得知5∈A，從而由a³-2a²-a+7=5求得a的可能取值，然后進行驗證。
解:∵A∩B={2,5},
∴5∈A,A={2,4,5},
由已知可得a³-2a²-a+7=5.
∴a³-2a²-a+2=0.
∴(a²-1)(a-2)=0.∴a=2或a=±1.
(1)當a=2時,B={-4,5,2,25},A∩B={2,5}與題設相符;
(2)當a=1時,B={-4,4,1,12},A∩B={4}與題設矛盾;
(3)當a=-1時,B={-4,2,5,4},A∩B={2,4,5}與題設矛盾.
綜上(1)、(2)、(3)知a=2,且A∪B={2,4,5}∪{-4,5,2,25}={-4,2,4,5,25}.