Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m.

(1)求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析 　(1)f(x)＝－x²＋8x＝－(x－4)²＋16，

當(dāng)t＋1<4，即t<3時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，

h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)²＋8(t＋1)

＝－t²＋6t＋7；

當(dāng)t≤4≤t＋1，即3≤t≤4時(shí)，h(t)＝f(4)＝16；

當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，

h(t)＝f(t)＝－t²＋8t.

綜上，h(t)＝.

(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)φ(x)＝g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

∵φ(x)＝x²－8x＋6lnx＋m，

∴φ′(x)＝2x－8＋＝

＝　(x>0)．

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)是減函數(shù)；

當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，φ′(x)＝0.

∴φ(x)_極大值＝φ(1)＝m－7，

φ(x)_極小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.

∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，φ(x)<0；

當(dāng)x充分大時(shí)，φ(x)>0.

∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只需

，即7<m<15－6ln3.

所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7,15－6ln3)．