Question

18．如圖，ABCD為邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角為45°，G，H分別為AB，EC的中點．（1）求證：GH∥平面ADEF；
（2）求二面角F-BD-E的大�。�

Answer 1

分析 （1）取DE的中點P，連接AP，PH，證明四邊形AGHP為平行四邊形，可得AP∥GH，利用線面平行的判定定理證明：GH∥平面ADEF；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-BD-E的大小．

解答 （1）證明：取DE的中點P，連接AP，PH．
∵PH為△EDC的中位線，
∴PH∥DC且PH=$\frac{1}{2}$DC．
∵AG∥DC且AG=$\frac{1}{2}DC$，
∴四邊形AGHP為平行四邊形．
∴AP∥GH，
又∵AP?平面ADEF，GH?平面ADEF，
∴GH∥平面ADEF…（5分）
（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，…（6分）
由條件可知B（2，2，0），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0，1）．     
∵BE與平面ABCD所成角為45°，且DE⊥平面ABCD，
∴DE=BD=2$\sqrt{2}$，∴E（0，0，2$\sqrt{2}$）
∴$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{2}$，0，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0）
設(shè)平面FBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，∴取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$）…（8分）
∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD．
又∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，
∵DB∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE．
∴$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0）可作為面BDE的一個法向量
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（11分）
又∵二面角F-BD-E為銳二面角，∴其大小為45°．               …（12分）

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．