Question

10．如圖△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E．
（Ⅰ）證明：△ABE∽△ADC；
（Ⅱ）若BC為△ABC外接圓的直徑且AD•AE=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ACD，由此能證明△ABE～△ADC．
（Ⅱ）由△ABE～△ADC，得AB•AC=AD•AE=2，再由又BC為直徑，能求出△ABC的面積．

解答 證明：（Ⅰ）∵△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E，
∴∠BAE=∠CAD，（2分）
∵∠AEB與∠ACD是同弧上的圓周角，
∴∠AEB=∠ACD，
∴△ABE～△ADC．（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABE～△ADC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
即AB•AC=AD•AE=2，（8分）
又BC為直徑，∴∠BAC=90°，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•AC=1$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查兩三角形相似的證明，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．