【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A,B是圓O:與x軸的兩個交點(點B在點A右側(cè)),點,x軸上方的動點P使直線,,的斜率存在且依次成等差數(shù)列.
(1)求證:動點P的橫坐標(biāo)為定值;
(2)設(shè)直線,與圓O的另一個交點分別為S,T.求證:點Q,S,T三點共線.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
(1)設(shè),表示出,,.根據(jù)等差中項性質(zhì),求得等量關(guān)系.由,即可求得,即可證明動點P的橫坐標(biāo)為定值;
(2)由(1)知,代入,中.分別表示出直線和直線方程,代入圓的方程,求得的坐標(biāo).由兩點間斜率公式可表示出,可得,即可證明點Q,S,T三點共線.
(1)證明:由題設(shè)知,,.
設(shè)(),則,,.
因為,,成等差數(shù)列,
所以,即,
由于,所以,即證;
(2)由(1)可知,,.
直線的方程為,
代入,化簡可得,
于是點S的橫坐標(biāo),從而.
同理可得,.
因為,
,
即
所以直線和直線的斜率相等,
故點S,T,Q共線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點處的切線;
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),若在上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了引導(dǎo)居民合理用水,某市決定全面實施階梯水價.階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn)定價,具體劃分標(biāo)準(zhǔn)如表:
階梯級別 | 第一階梯水量 | 第二階梯水量 | 第三階梯水量 |
月用水量范圍(單位:立方米) |
從本市隨機抽取了10戶家庭,統(tǒng)計了同一月份的月用水量,得到如圖莖葉圖:
(Ⅰ)現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況,從全市依次隨機抽取10戶,若抽到戶月用水量為一階的可能性最大,求的值.
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【題目】已知橢圓:上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形的周長為,離心率為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓C的右頂點和上頂點分別為A、B,斜率為的直線l與橢圓C交于P、Q兩點(點P在第一象限).若四邊形APBQ面積為,求直線l的方程.
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【題目】設(shè)A,B分別為雙曲線 (a>0,b>0)的左、右頂點,雙曲線的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使,求t的值及點D的坐標(biāo).
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【題目】某學(xué)校初中部共120名教師,高中部共180名教師,其性別比例如圖所示,已知按分層抽樣方法得到的工會代表中,高中部女教師有6人,則工會代表中男教師的總?cè)藬?shù)為________.
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【題目】已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD(A,B,C,D按逆時針排列),A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i.
(1)求點C,D對應(yīng)的復(fù)數(shù).
(2)求平行四邊形ABCD的面積.
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【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)以原點為極點x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為:,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并指出它是何種曲線;
(Ⅱ)設(shè)與曲線交于兩點,與曲線交于兩點,求四邊形面積的取值范圍.
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