Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，且（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=35．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$，當(dāng)λ∈[0，1]時，求|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=35，可得解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-6，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，則cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$，又θ∈[0°，180°]，則θ=120°，于是可得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．
（2）因為$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$，故|$\overrightarrow{c}$|²=|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$|²=9（λ-$\frac{2}{3}$）²+12，則|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{9（λ-\frac{2}{3}）}^{2}+12}$，而λ∈[0，1]，則當(dāng)λ=$\frac{2}{3}$時，|$\overrightarrow{c}$|取最小值2$\sqrt{3}$；當(dāng)λ=0時，|$\overrightarrow{c}$|取最大值4，從而可得|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

解答 解：（1）因為（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=35，
則2|$\overrightarrow{a}$|²-5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-3|$\overrightarrow$|²=35．（2分）
因為|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，則32-5$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-27=35，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-6．（4分）
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，則cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$．（5分）
又θ∈[0°，180°]，則θ=120°，所以向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．（6分）
（2）因為|$\overrightarrow{c}$|²=|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+λ²b²=|a|²+2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+λ²|$\overrightarrow$|²
=16-12λ+9λ²=9（λ-$\frac{2}{3}$）²+12，則|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{9（λ-\frac{2}{3}）}^{2}+12}$．（9分）
因為λ∈[0，1]，則當(dāng)λ=$\frac{2}{3}$時，|$\overrightarrow{c}$|取最小值2$\sqrt{3}$；當(dāng)λ=0時，|$\overrightarrow{c}$|取最大值4，所以|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[2$\sqrt{3}$，4]．（12分）

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，要求向量的模，先求其模的平方是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．