Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，寫(xiě)出判斷過(guò)程；
（2）證明f（x）在區(qū)間（0，2]是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，試求函數(shù)f（x）的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的前提下，相等為偶函數(shù)，相反為奇函數(shù)；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用基本不等式以及函數(shù)的單調(diào)性求最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
因?yàn)閒（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-f（x）．
所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：f'（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，f'（x）在區(qū)間（0，2]，f'（x）＜0，所以在[0，2]是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上f'（x）＞0，所以f（x）在[2，+∞）是單調(diào)增函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)f（x）取最小值4，無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷與證明，同時(shí)還考查了利用性質(zhì)作出函數(shù)圖象，這類(lèi)作圖不是很準(zhǔn)確，但在數(shù)形結(jié)合中解決問(wèn)題很有效