Question

17．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x-1|的解集；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值為a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式即|2x-1|＜|x-1|，平方化簡可得x（3x-2）＜0，由此求得x的范圍．
（Ⅱ）求出g（x）的最小值，得到m+n=2，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x-1|，即|2x-1|＜|x-1|，平方化簡可得x（3x-2）＜0，
求得0＜x＜$\frac{2}{3}$，故不等式的解集為{x|0＜x＜$\frac{2}{3}$}．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）+f（x-1）=|2x-1|+|2（x-1）-1|=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時，取等號，故g（x）的最小值為a=2，
∴m+n=2≥2$\sqrt{mn}$（m＞0，n＞0），∴mn≤1，$\frac{1}{mn}$≥1，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時，等號成立．
∴$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$=m+$\frac{2}{m}$+n+$\frac{1}{n}$=2+（$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$）=2+（$\frac{2m+2n}{m}$+$\frac{m+n}{n}$）=5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{n}$時，等號成立，故求$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$的最小值為5+2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了解絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．