Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的等邊三角形，AA₁⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC₁，BB₁上的點(diǎn)，且EC=B₁F=2FB．
（1）證明：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA₁=3，求直線AB與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)FB=a，則EC=B₁F=2a，運(yùn)用勾股定理，分別求出AF，EF，可得△AEF為等腰三角形，取AE的中點(diǎn)G，連接FG，取AC的中點(diǎn)M，連接MG，運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì)，證得FG⊥AC，F(xiàn)G⊥平面ACC₁A₁，再由面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）分別求得三角形AEF和三角形BEF的面積，取BC的中點(diǎn)H，可得AH⊥BC，證得AH⊥平面B₁BCC₁，過B作BO⊥平面AEF，垂足為O，連接AO，可得∠BAO為直線AB與平面AEF所成角，設(shè)BO=d，由V_B-AEF=V_A-BEF，運(yùn)用棱錐的體積公式，計(jì)算可得d，再由正弦函數(shù)的定義，即可得到所求值．

解答 解：（1）由EC=B₁F=2FB，設(shè)FB=a，
則EC=B₁F=2a，
在直角三角形ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+F{B}^{2}}$=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
在直角梯形FBCE中，EF=$\sqrt{4+（2a-a）^{2}}$=AF，
則△AEF為等腰三角形，
取AE的中點(diǎn)G，連接FG，可得FG⊥AE，
取AC的中點(diǎn)M，連接MG，可得MG∥EC，MG=$\frac{1}{2}$EC=a，
即有MG=FB，可得四邊形FBMG為平行四邊形，
即有FG∥BM，
BM⊥AC，可得FG⊥AC，
AE∩AC=A，且AE，AC?平面ACC₁A₁，
可得FG⊥平面ACC₁A₁，又FG?平面AEF，
則平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）由AA₁=3，可得FB=1，EC=B₁F=2，
AF=EF=$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
△AEF的面積為S_△AEF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$，
△BEF的面積為S_△BEF=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
取BC的中點(diǎn)H，可得AH⊥BC，
AA₁⊥底面ABC，可得AA₁⊥AH，
AA₁∥BB₁，可得BB₁⊥AH，
則AH⊥平面B₁BCC₁，且AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
過B作BO⊥平面AEF，垂足為O，連接AO，
可得∠BAO為直線AB與平面AEF所成角，
設(shè)BO=d，
由V_B-AEF=V_A-BEF，
可得$\frac{1}{3}$d•S_△AEF=$\frac{1}{3}$AH•S_△BEF，
即為d=$\frac{\sqrt{3}×1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則sin∠BAO=$\fracbtiwr7g{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
即有直線AB與平面AEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用線面垂直的判定，考查直線和平面所成角的正弦值，注意運(yùn)用等積法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．