Question

3．已知過點P（2，2）的直線l和圓C：（x-1）²+y²=6交于A，B兩點．
（Ⅰ）若點P恰好為線段AB的中點，求直線l的方程；
（Ⅱ）若$|{AB}|=2\sqrt{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若點P恰好為線段AB的中點，則l⊥CP，求出斜率，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）若$|{AB}|=2\sqrt{5}$，分類討論，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知l⊥CP，因為${k_{CP}}=\frac{2-0}{2-1}=2$，所以${k_l}=-\frac{1}{2}$，
故直線l的方程為x+2y-6=0…（6分）
（Ⅱ）設圓心C到直線l的距離為d，則d=1
當直線l的斜率不存在時，符合題意，此時直線的方程為x=2；…（8分）
當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則直線l的方程為y-2=k（x-2），即kx-y+2-2k=0，
所以$d=\frac{|2-k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，則$k=\frac{3}{4}$，此時直線的方程為3x-4y+2=0
綜上，直線l的方程為x=2或3x-4y+2=0…（12分）

點評 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關系的運用，屬于中檔題．