Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，其中b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}$，求T_n；
（Ⅲ）若存在n∈N^*，使得T_n-λa_n≥3λ成立，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}$變形，利用裂項(xiàng)相消法化簡，代入S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$得答案；
（Ⅲ）把a(bǔ)_n、T_n代入T_n-λa_n≥3λ，分離參數(shù)λ，利用不等式求得最值得答案．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}-\frac{（n-1）n}{2}$=n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1也符合上式，
∴a_n=n；
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}=\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{S_1}-\frac{1}{S_2}}）+（{\frac{1}{S_2}-\frac{1}{S_3}}）+…+（{\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}}）}]=\frac{1}{2}（{\frac{1}{S_1}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}}）$
=$\frac{1}{2}[{1-\frac{2}{（n+1）（n+2）}}]=\frac{{{n^2}+3n}}{2（n+1）（n+2）}$；
（Ⅲ）∵存在n∈N^*，使得T_n-λa_n≥3λ成立，
∴存在n∈N^*，使得$\frac{{{n^2}+3n}}{2（n+1）（n+2）}≥λ（n+3）$成立，即$λ≤\frac{n}{2（n+1）（n+2）}$有解，
∴$λ≤{[{\frac{n}{2（n+1）（n+2）}}]_{max}}$，
而$\frac{n}{2（n+1）（n+2）}=\frac{1}{{2（n+\frac{2}{n}+3）}}≤\frac{1}{12}$，當(dāng)n=1或n=2時(shí)取等號(hào)，
∴λ的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{12}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了利用分離參數(shù)法求解數(shù)列恒成立問題，是中檔題．