Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=

1

2

BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點，如圖2，將△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，連接BC，BD，P是棱BC上的中點．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）若AB=2，求三棱錐B-AEP的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接BD，取AE中點M，連接BM，DM，根據等邊三角形可知BM⊥AE，DM⊥AE，BM∩DM=M，BM，DM?平面BDM，滿足線面垂直的判定定理則AE⊥平面BDM，而BD?平面BDM，得到AE⊥BD．
（2）利用V_B-AEP=V_P-AEB=

1

2

V_C-AEB，即可求出三棱錐B-AEP的體積．

解答： （1）證明：設AE中點為M，連接BM，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點，∴△ABE與△ADE都是等邊三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM?平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD；
（2）∵面BAE⊥面AECD，面BAE∩面AECD=AE，DM⊥AE，
∴DM⊥面AECD，
∵AB=2，∴AE=2，
∴BM=DM=

3

，
∴V_B-AEP=V_P-AEB=

1

2

V_C-AEB=

1

2

×

1

3

×(

1

2

×2×

3

)×

3

=

1

2

．

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐B-AEP的體積，解題的關鍵是掌握線面垂直，三棱錐體積的計算方法，屬于中檔題．