已知點P是⊙M：（x+1）2+y2=16上的任意一點，點N（1，0），線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點Q
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）已知直線l′與點Q的軌跡交于點A，B，且直線l′的方程為y=kx+
3
（k＞0），若O為坐標原點，求△OAB面積的最大值．
考點：直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）連結(jié)QN，由橢圓定義知點Q的軌跡是以M（-1，0），N（1，0）為焦點，長軸長為2a=4，短軸長2b=2
3
的橢圓，由此能求出點Q的軌跡方程．
（Ⅱ）聯(lián)立
y=kx+
3
x2
4
+
y2
3
=1
，整理，得(4k2+3)x2+8
3
kx=0，由此利用橢圓弦長公式、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△OAB面積的最大值．
解答： 解：（1）如圖，如圖，連結(jié)QN，
∵l是線段PN的垂直平分線，∴|QP|=|QN|，
∵|MP|=|MQ|+|QP|，∴|MQ|+|NQ|=4，
由橢圓定義知點Q的軌跡是以M（-1，0），N（1，0）為焦點，
長軸長為2a=4，短軸長2b=2
3
的橢圓，
其方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）聯(lián)立
y=kx+
3
x2
4
+
y2
3
=1
，整理，得(4k2+3)x2+8
3
kx=0，
解得x1=0，x2=-
8
3
k
4k2+3
，
∵k＞0，
∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•|-
8
3
k
4k2+3
|=
1+k2
•
8
3
k
4k2+3
，
原點O到直線l′的距離為d=
3
1+k2
，
∴S△OAB=
1
2
1+k2
•
8
3
k
4k2+3
•
3
1+k2
=
12
4k2+3

=
12
4k+
3
k
≤
12
4
3
=
3
，
當且僅當4k=
3
k
，即k=
3
2
時，
△OAB面積的最大值為2
3
．
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=
1
2
BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點，如圖2，將△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，連接BC，BD，P是棱BC上的中點．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）若AB=2，求三棱錐B-AEP的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-4lnx-
1
2
ax2+x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=-
1
2
，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=-
1
3
x3+
1
2
（a+2）x2+2（a+4）x，存在兩個整數(shù)m、n，使得函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（m，n）上都是增函數(shù)，求n的最大值，及n取最大值時a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+mx+n的圖象過點（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）對任意實數(shù)都成立，函數(shù)y=g（x）與y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．
（Ⅰ）求f（x）與g（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）=exg（x）-λ[f（x）+x2]在[-2，0]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex-ae-x）（x∈R）是偶函數(shù)，則實數(shù)a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1=-1，S5=15．
（1）求an；
（2）令bn=2 an（n=1，2，3，…），計算b1，b2和b3，由此推測數(shù)列{bn}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某數(shù)學(xué)老師對本校2013屆高三學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績按1：200進行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的成績，并用莖葉圖記錄分數(shù)如圖所示，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下所示的頻率分布表：
分數(shù)段（分）[50，70）[70，90）[90，110）[110，130）[130，150）總計
頻數(shù)b
頻率a0.25
（1）求表中a，b的值及分數(shù)在[90，100）范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，并估計這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率（分數(shù)在[90，150）內(nèi)為及格）：
（2）從成績在[100，120）范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機選2人，求其中恰一人成績在[100，110）內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)f（x）=
ln(x+2)+2
x
，g（x）=
m
x+2
．
（Ⅰ）若m=3
3
，求函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點P到坐標原點的距離的最小值；
（Ⅱ）是否存在最大的正整數(shù)m，使得對任意的正數(shù)k，都存在實數(shù)a，b滿足-2＜a＜b＜k，有f（k）=f（a）=f（b），如果存在，求出最大的正整數(shù)m；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)（3
3x
+1）n的展開式中各項系數(shù)之和為A，各項的二項式系數(shù)之和為B，如A+B=272，則展開式中含x項的系數(shù)為
 
．

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