Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，前12項(xiàng)和S₁₂=186．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=(

1

2

)an，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若不等式T_n＜m對(duì)所有n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，前12項(xiàng)和S₁₂=186，求得公差，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入bn=(

1

2

)an，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得T_n，求T_n的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=-1，S₁₂=186，
∴S12=12a1+

12×11

2

d，即186=-12+66d．∴d=3．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．
（Ⅱ）∵bn=(

1

2

)an，a_n=3n-4，∴bn=(

1

2

)3n-4．
∵當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

bn-1

=(

1

2

)3=

1

8

，
∴數(shù)列f(1)=

1

4

，故k1=

1

4

．是等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=(

1

2

)-1=2，公比q=

1

8

．
∴Tn=

2[1-( 1 8 )n]

1- 1 8

=

16

7

×[1-(

1

8

)n]．
∵

16

7

×[1-(

1

8

)n]＜

16

7

(n∈N*)，又不等式T_n＜m對(duì)n∈N*恒成立，
而1-(

1

8

)n單調(diào)遞增，且當(dāng)n→∞時(shí)，1-(

1

8

)n→1，
∴m≥

16

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，及它們之間的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了極限的思想方法，屬中檔題．