Question

【題目】如圖，在多面體ABCDM中，△BCD是等邊三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求證：CD⊥AM；
（Ⅱ）若AM=BC=2，求直線AM與平面BDM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取CD的中點O，連接OB，OM． ∵△BCD是等邊三角形，
∴OB⊥CD．
∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，
∴OM⊥CD．
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM平面CMD，
∴OM⊥平面BCD．
又∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB．
∴O，M，A，B四點共面．
∵OB∩OM=O，OB平面OMAB，OM平面OMAB，
∴CD⊥平面OMAB．∵AM平面OMAB，
∴CD⊥AM．
（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足為N，則MN=OB．
∵△BCD是等邊三角形，BC=2，
∴ ，CD=2．
在Rt△ANM中， ．
∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，
∴ ．
∴AB=AN+NB=AN+OM=2．
以點O為坐標原點，以OC，BO，OM為坐標軸軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，
則M（0，0，1）， ，D（﹣1，0，0）， ．
∴ ， ， ．
設平面BDM的法向量為 =（x，y，z），
由n ，n ，∴ ，
令y=1，得 = ．
設直線AM與平面BDM所成角為θ，
則 = = ．
∴直線AM與平面BDM所成角的正弦值為 ．

【解析】（I）取CD的中點O，連接OB，OM，則可證OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O為原點建立空間直角坐標系，求出 和平面BDM的法向量 ，則直線AM與平面BDM所成角的正弦值為|cos＜ ＞|．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．