Question

函數(shù)f（x）=k-

sin|x|

x

（k＞0）有且僅有兩個不同的零點(diǎn)θ，φ（θ＞φ），則以下有關(guān)兩零點(diǎn)關(guān)系的結(jié)論正確的是（　�。�

• A、sinφ=φcosθ
• B、sinφ=-φcosθ
• C、sinθ=θcosφ
• D、sinθ=-θcosφ

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意構(gòu)造函數(shù)y₁=sin|x|，y₂=kx，然后分別做出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象和導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)的坐標(biāo)以及斜率，即可得到選項．

解答： 解：依題意可知x不能等于0．
令y₁=sin|x|，y₂=kx，顯然函數(shù)y₁為偶函數(shù)，
y₂=kx為奇函數(shù)，
故θ，φ為絕對值最小的兩個非零零點(diǎn)．
然后分別做出兩個函數(shù)的圖象．
由題意可得y₂與y₁僅有兩個交點(diǎn)，
且φ是y₁和y₂相切的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
即點(diǎn)（φ，sin|φ|）為切點(diǎn)，
φ∈（-

3π

2

，-π），故sin|φ|=-sinφ．
因為（-sinφ）′=-cosφ，所以切線的斜率k=-cosφ．
再根據(jù)切線的斜率為 k=

sinθ-0

θ-0

=

sinθ

θ

，∴-cosφ=

sinθ

θ

，即 sinθ=-θcosφ，
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，就是方程的根，注意：y₁的圖象只有X軸右半部分和y軸上半部分，且原點(diǎn)處沒有值（因為x不等于0）；y₂的圖象是過原點(diǎn)的一條直線，屬于基礎(chǔ)題．