Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（x+2），}&{x≥2}\\{{2}^{1-x}，}&{x＜2}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），若f（6）+f（-1）=7，函數(shù)y=f（x）-b僅有一個零點，則實數(shù)b的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，2]
• B． （$\frac{1}{2}$，2]
• C． [$\frac{1}{2}$，2）
• D． （$\frac{1}{2}$，2）

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式結合f（6）+f（-1）=7求得a值，把函數(shù)y=f（x）-b僅有一個零點，即y=f（x）與y=b的圖象只有一個交點，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合得答案．

解答 解：∵f（6）+f（-1）=7，∴l(xiāng)og_a8+4=7，即log_a8=3，∴a=2．
則$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+2），x≥2}\\{{2}^{1-x}，x＜2}\end{array}\right.$，
函數(shù)y=f（x）-b僅有一個零點，即y=f（x）與y=b的圖象只有一個交點．
作出函數(shù)圖象如圖：
由圖象可得，實數(shù)b的取值范圍為：（$\frac{1}{2}$，2）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查數(shù)學轉化思想方法和數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．