Question

已知|

a

|=1，若非零向量

b

滿足

b

•（

b

-

a

）=0，則|

b

|的取值范圍為

（0，1]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意分兩類：

b

=

a

≠

0

和

b

≠

a

，當(dāng)

b

≠

a

時(shí)，根據(jù)

b

•(

b

-

a

)=0畫出圖形，判斷出

b

，

a

夾角范圍，再把

b

•(

b

-

a

)=0展開化簡(jiǎn)，由向量夾角余弦值的范圍求出|

b

|的范圍．

解答：解：①當(dāng)

b

=

a

≠

0

時(shí)，滿足

b

•(

b

-

a

)=0，此時(shí)|

b

|=1，
②由

b

≠

a

時(shí)，

b

•(

b

-

a

)=0得，

b

⊥(

b

-

a

)，根據(jù)向量減法的幾何意義畫出示意圖，

如圖：在RT△OAB中，設(shè)

b

=

0B

，

a

=

OA

，則

AB

=

b

-

a

，
∴

b

，

a

之間的夾角為∠AOB，則∠AOB∈（0，

π

2

），
由

b

•(

b

-

a

)=0得，

b

2-

b

•

a

=0，即|

b

| -cos∠AOB=0，
∴|

b

| =cos∠AOB∈（0，1），
綜上得，|

b

| ∈(0，1]．
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量減法的幾何意義，以及垂直的等價(jià)條件，易忘

b

=

a

≠

0

的情況．