已知函數(shù)f(x)=x+
4x
(x＞0)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）用定義證明．
分析：（1）根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們易判斷出函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)0＜x1＜x2≤2，根據(jù)x1-x2＜0，1-
4
x1x2
＜0，可得f（x1）-f（x2）＞0，進(jìn)而根據(jù)減函數(shù)的定義得到函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減；
設(shè)2＜x1＜x2，根據(jù)x1-x2＜0，1-
4
x1x2
＞0，可得f（x1）-f（x2）＜0，進(jìn)而根據(jù)增函數(shù)的定義得到函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增．
解答：解：（1）f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
證明（2）設(shè)0＜x1＜x2≤2，則f(x1)-f(x2)=(x1+
4
x1
)-(x2+
4
x2
)=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)
因0＜x1＜x2≤2，所有x1-x2＜0，1-
4
x1x2
＜0，所以f（x1）-f（x2）＞0，
即 f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減．
設(shè)2＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=(x1+
4
x1
)-(x2+
4
x2
)=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)
因2＜x1＜x2，所有x1-x2＜0，1-
4
x1x2
＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，
即 f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中熟練掌握定義法（作差法）證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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