Question

已知S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，n分別取1，2，3，4，代入計算，即可得出結(jié)論；
（2）由S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，
∴S₁=

1

2

a₁²+

1

2

a₁，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
又S₂=

1

2

a₂²+

1

2

a₂，a₂＞0，∴a₂=2，
同理可得a₃=3，a₄=4；
（2）∵S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，
∴n≥2時，S_n-1=

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1，
兩式相減可得a_n=（

1

2

a_n²+

1

2

a_n）-（

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1），
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查等差數(shù)列的證明，證明數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵．