Question

已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=

3

4

，a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1 -a 2 n

．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；　　　
（Ⅱ）求數(shù)列{ b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1 -a 2 n

，可得b_n+1=

1

2-bn

，代入計(jì)算可求b₂，b₃，b₄；　　　
（Ⅱ）證明數(shù)列{

1

bn-1

}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1 -a 2 n

，
∴b_n+1=

1

2-bn

，
∵b₁=

3

4

，a₁=

1

4

，
∴b₂=

4

5

，b₃=

5

6

，b₄=

6

7

；　　　
（Ⅱ）∵b_n+1=

1

2-bn

，
∴b_n+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=-1+

1

bn-1

，
∴數(shù)列{

1

bn-1

}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

bn-1

=-4-（n-1）=-n-3，
∴b_n=1-

1

n+3

=

n+2

n+3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，證明數(shù)列{

1

bn-1

}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵．