Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+(

3

4

a2+

1

2a

)   1nx-2ax
（1）當a=-

1

2

時，求f（x）的極值點；
（2）若f（x）在f′（x）的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-

1

2

時，f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x  （x＞0），求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得f（x）的極值點；
（2）求導函數(shù)f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2a

x

（x＞0），構(gòu)造新函數(shù)g（x）=x²-2ax+

3

4

a²+

1

2

a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，設(shè)g（x）=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），分類討論，通過比較根的關(guān)系，根據(jù)f（x）在f′（x）的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，即可確定實數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）當a=-

1

2

時，f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x  （x＞0）
由f′（x）=x-

1

16x

+1=

16x2+16x-1

16x

=0，可得x₁=

-2- 5

4

，x₂=

-2+ 5

4

…2′
當（0，

-2+ 5

4

）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，當（

-2+ 5

4

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增…3′
∴f（x）在x=

-2+ 5

4

時取極小值…4′
（2）f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2a

x

（x＞0）…5′
令g（x）=x²-2ax+

3

4

a²+

1

2

a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，設(shè)g（x）=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）…7′
1°、當△≤0時，即0≤a≤2，f′（x）≥0，∴f（x）單調(diào)遞增，滿足題意…9′
2°、當△＞0時  即a＜0或a＞2時
①若x₁＜0＜x₂，則 

3

4

a²+

1

2

a＜0  即-

2

3

＜a＜0時，f（x）在（0，x₂）上單調(diào)減，（x₂，+∞上單調(diào)增
f′（x）=x+

3 4 a2+ 1 2a

x

-2a，f″（x）=1-

3 4 a2+ 1 2a

x2

≥0，∴f′（x） 在（0，+∞）單調(diào)增，不合題意…11′
②若x₁＜x₂＜0，則

3 4 a2+ 1 2 a≥0 a＜0

，即a≤-

2

3

時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，滿足題意．…13′
③若0＜x₁＜x₂，，則

3 4 a2+ 1 2 a＞0 a＞0

，即a＞2時，f（x）在（0，x₁）單調(diào)增，（x₁，x₂）單調(diào)減，（x₂，+∞）單調(diào)增，不合題意…15′
綜上得a≤-

2

3

或0≤a≤2．…16′

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關(guān)鍵．