Question

若n∈N^*，且n為奇數(shù)，則6ⁿ+C

1 n

•6^n-1+C

2 n

•6^n-2+…+C

n-1 n

•6被8除所得的余數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：計算題,二項式定理

分析：法一：根據(jù)題意，由二項式定理，可以將6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6變形為C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-1，又由n為奇數(shù)，則可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-2，分析可得答案；
法二，用特殊制法，根據(jù)題意，n∈N^*，且n為奇數(shù)，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=6，分析可得答案．

解答： 解：法一：根據(jù)題意，6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6
=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-1
=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1
=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-1
又由n為奇數(shù)，則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-2，
且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，
則6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余數(shù)是6；
法二，根據(jù)題意，n∈N^*，且n為奇數(shù)，
在6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6中，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=6，
6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余數(shù)是6．
故答案為：6．

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)二項式定理，靈活將6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6變形，對于填空題，法二是簡便易行的方法．