Question

在直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若過點D（4，0）的直線l與C₁交于不同的兩點E，F(xiàn)．E在DF之間，試求△ODE 與△ODF面積之比的取值范圍．（O為坐標原點）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意知F₂（1，0），設(shè)M（x₁，y₁）．由拋物線定義得，即．由此能夠求出C₁的方程．
（Ⅱ）設(shè)l的方程為x=sy+4，代入，得（3s²+4）y²+24sy+36=0，由△＞0，解得s²＞4．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），再結(jié)合韋達定理能夠?qū)С觥鱋DE與△ODF面積之比的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）依題意知F₂（1，0），設(shè)M（x₁，y₁）．由拋物線定義得，即．
將代入拋物線方程得（2分），進而由及a²-b²=1解得a²=4，b²=3．故C₁的方程為（4分）
（Ⅱ）依題意知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為x=sy+4代入，整理得（3s²+4）y²+24sy+36=0（6分）
由△＞0，解得s²＞4．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則，（1）（8分）
令且0＜λ＜1．將y₁=λy₂代入（1）得
消去y₂得（10分）即，即3λ²-10λ+3＜0解得．∵0＜λ＜1故△ODE與△ODF面積之比的取值范圍為（12分）
點評：本題考查軌跡方程的求法和求△ODE與△ODF面積之比的取值范圍．解題時要認真審題，注意培養(yǎng)直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．