Question

等比數(shù)列{a_n}中，已知對任意自然數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（　�。�

• A．

  4n-1

  3

• B．（2ⁿ-1）²
• C．4ⁿ-1
• D．2ⁿ-1

Answer 1

分析：根據(jù)所給的對任意自然數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，給n取1和2，得到數(shù)列的前兩項(xiàng)，得到等比數(shù)列{a_n2}是首項(xiàng)是1，公比是4的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到結(jié)果．

解答：解：∵當(dāng)n=2時，a₁+a₂=3，
當(dāng)n=1時，a₁=1，
∴a₂=2，
∴公比q=2，
∴等比數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列，
∵a₁²=1，a₂²=4，
∴等比數(shù)列{a_n2}是首項(xiàng)是1，公比是4的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故選A．

點(diǎn)評：有的數(shù)列可以通過遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個我們較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．這類問題考查學(xué)生的靈活性，考查學(xué)生分析問題及運(yùn)用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現(xiàn)．