Question

在△ABC中，已知∠A=

π

3

，邊BC=2

3

，設∠B=x，△ABC的周長記為y．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并指出其定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間及其值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用正弦定理分別求得AB，AC，進而表示出三角形的周長得到y(tǒng)的表達式．根據(jù)三角形內角和確定x的范圍．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的性質求得函數(shù)的單調區(qū)間和最大，最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理知

BC

sinA

=

AC

sinx

=

AB

sinC

∴AC=

BC

sinA

•sinx=4sinx，
同理可求得AB=4sin（

2π

3

-x），
∴y=f（x）=4sinx+4sin（

2π

3

-x）+2

3

，=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

，（0＜x＜

2π

3

）
（Ⅱ）當2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

時，k∈Z，函數(shù)單調增，
當2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

時，k∈Z，函數(shù)單調減，
∵0＜x＜

2π

3

，
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為（0，

π

3

），單調減區(qū)間是（

π

3

，

2π

3

），
函數(shù)的值域為（4

3

，6

3

]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)的圖象與性質．考查學生綜合運用所學知識的能力．