Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a、b、c，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對一切實數(shù)x恒成立．
（1）求cosC的取值范圍；
（2）當(dāng)∠C取最大值，且△ABC的周長為6時，求△ABC面積的最大值，并指出面積取最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷,三角函數(shù)的最值

專題：解三角形

分析：（1）當(dāng)cosC=0時，不恒成立，當(dāng)cosC≠0時，應(yīng)有

cosC＞0 △=16sin2C-24cosC≤0

，解不等式結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得；
（2）可得∠C的最大值為

π

3

，代入數(shù)據(jù)由基本不等式可得．

解答： 解：（1）當(dāng)cosC=0時，sinC=1，
原不等式即為4x+6≥0，顯然對一切實數(shù)x不恒成立，
當(dāng)cosC≠0時，應(yīng)有

cosC＞0 △=16sin2C-24cosC≤0

化簡可得

cosC＞0 2cos2C+3cosC-2≥0

，
解得cosC≥

1

2

，或cosC≤-2（舍去），
∵C是△ABC的內(nèi)角，∴

1

2

≤cosC＜1；
（2）∵0＜C＜π，

1

2

≤cosC＜1
∴∠C的最大值為

π

3

，此時c=

a2+b2-2abcos π 3

=

a2+b2-ab

，
∴6=a+b+c=a+b+

a2+b2-ab

≥2

ab

+

2ab-ab

=3

ab

，
∴ab≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”），
∴S_△ABC=

1

2

absin

π

3

≤

3

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”），
∴△ABC面積的最大值為

3

，△ABC為等邊三角形．

點評：本題考查三角形形狀的判斷，涉及三角函數(shù)的最值和基本不等式，屬中檔題．