Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）經過點（1， ），離心率為 ，點A為橢圓C的右頂點，直線l與橢圓相交于不同于點A的兩個點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）當 ⊥ =0時，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知：且 ，可得： ，

橢圓C的標準方程為

（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，設l：x=m，與 ，聯立得 ．

由于 ，得 ，解得 或m=2（舍去）．

此時 ，△OPQ的面積為

當直線l的斜率存在時，由題知k≠0，設l：y=kx+m，與 聯立，

整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由△＞0，得4k2﹣m2+1＞0；

且 ，

由于 ，得： ．

代入（*）式得：12k2+5m2+16km=0，即 或m=﹣2k（此時直線l過點A，舍去）．

，

點O到直線l的距離為：

S△OPQ= ，將 代入得： ，

令 0＜p＜1， ，由y=﹣9p2﹣7p+16，

在（0，1）上遞減，

∴0＜y＜16，故 ，

綜上（S△OPQ）max=

【解析】（Ⅰ）將點代入橢圓方程，根據橢圓的離心率公式，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）分類討論．當直線l的斜率不存在時，求得P，Q點坐標，由 ⊥ =0即可求得m的值，求得丨PQ丨，即可求得△OPQ面積；

當直線l的斜率存在，且不為0，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及向量數量積的坐標運算，根據函數的單調性即可求得△OPQ面積的最大值．