Question

3．據(jù)四川省民政廳報告，2013年6月29日以來，四川省中東部出現(xiàn)強降雨天氣過程，局地出現(xiàn)大暴雨．暴雨洪澇災(zāi)害已造成遂寧、德陽、綿陽等12市34縣（市、區(qū)）244萬人受災(zāi)，共造成直接經(jīng)濟損失85502.41萬元．適逢暑假，小王在某小區(qū)調(diào)查了50戶居民由于洪災(zāi)造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出頻率分布直方圖（如圖）．
（1）小王向班級同學(xué)發(fā)出為該小區(qū)居民捐款的倡議．現(xiàn)請你解決下列兩個問題：
①若先從損失超過6000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助，求這2戶不在同一分組的概率；
②若從損失超過4000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助，設(shè)抽出損失超過8000元的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）洪災(zāi)過后小區(qū)居委會號召小區(qū)居民為洪災(zāi)重災(zāi)區(qū)捐款，小王調(diào)查的50戶居民的捐款情況如表，在表格空白處填寫正確的數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)？

	經(jīng)濟損失不超過4000元	經(jīng)濟損失超過4000元	合計
捐款超過500元	30	9	39
捐款不超過500元	5	6	11
合計	35	15	50
	35	15	50

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：臨界值表參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）①由頻率直方圖得到，損失不少于6000元的以及損失為6000～8000元的居民數(shù)，再由古典概型結(jié)合排列組合便可得出兩戶在同一分組的概率；
②由頻率分布直方圖，得損失超過4000元的居民有15戶，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；
（2）由頻率直方圖計算數(shù)據(jù)補全表格后，代入臨界值公式算出K²，與表格數(shù)據(jù)相對比，便可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①由頻率分布直方圖可得，
損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，
損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，
損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，
因此，這兩戶在同一分組的概率為P=$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
②由頻率分布直方圖可得，損失超過4000元的居民共有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15戶，
損失超過8000元的居民共有：0.00003×2000×50=3戶，
∴ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{22}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

Eξ=0×$\frac{22}{35}$+1×$\frac{12}{35}$+2×$\frac{1}{35}$=$\frac{2}{5}$；
（2）如表：

	經(jīng)濟損失不超過 4000元	經(jīng)濟損失超過 4000元	合計
捐款超過 500元	30	9	39
捐款不超 過500元	5	6	11
合計	35	15	50

K²=$\frac{50×（30×6-9×5）^{2}}{39×11×35×15}$≈4.046＞3.841  
所以有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否項500元有關(guān)．

點評 本題考查獨立性檢驗及分布直方圖的應(yīng)用，考查古典概型，考查分析問題解決問題得能力，屬于中檔題．