Question

設(shè)f(x)=6cos2x-2

3

sinxcosx；
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，銳角A滿足f(A)=3-2

3

，B=

π

12

，求

a2+b2+c2

ab

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，從而可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，于是f（A）=3-2

3

⇒sin（2A-

π

3

）=1，從而可求得A=

5π

12

，C=

π

2

，利用正弦定理與余弦定理的結(jié)合可求得

a2+b2+c2

ab

的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx
=3（1+cos2x）-

3

sin2x
=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
得：

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（A）=-2

3

sin（2A-

π

3

）+3=3-2

3

，
∴sin（2A-

π

3

）=1，又A為三角形中的內(nèi)角，
∴A=

5π

12

，又B=

π

12

，
∴C=π-（A+B）=

π

2

，
∴

a2+b2+c2

ab

=

2c2

ab

=

2(sinc)2

sinAsinB

=

2×1

cosBsinB

=

2

1 2 sin2B

=

4

sin π 6

=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．