Question

設(shè)f(x)=6cos2x-2

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位，得y=g（x）的圖象，求F(x)=

g(x)-3

2 3 x

在x=

π

4

處的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和兩角和的余弦公式將函數(shù)化為y=Acos（ωx+φ）型函數(shù)，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，利用余弦函數(shù)圖象性質(zhì)，通過解不等式可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
（Ⅱ）先由函數(shù)的圖象變換法則得函數(shù)y=g（x）的解析式，從而確定函數(shù)F（x）的解析式，再求函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)F′（x），最后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出F（x）在x=

π

4

處的切線斜率，即可得切線方程

解答：解：（Ⅰ）f(x)=6

(1+cos2x)

2

-

3

sin2x=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，
故f（x）的最小正周期T=π
由-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

](k∈Z)．
（Ⅱ）由題意：g(x)=2

3

cos[2(x-

π

3

)+

π

6

]+3=2

3

sin2x+3，
∴F(x)=

g(x)-3

2 3 x

=

sin2x

x

，F′(x)=

2xcos2x-sin2x

x2

，
因此切線斜率k=F′(

π

4

)=-

16

π2

，
切點坐標為(

π

4

，

4

π

)，
故所求切線方程為y-

4

π

=-

16

π2

(x-

π

4

)，
即16x+π²y-8π=0．

點評：本題考察了二倍角公式，兩角和的余弦公式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的四則運算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識