Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln(x－1)，其中a為常數(shù)．

(1)試討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a＝時，存在x使得不等式成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當a≥0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)；當a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1－)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，＋∞)；（2）

【解析】試題分析：(1)求導，通過討論的符號研究導函數(shù)的符號變換得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先由（1）得到函數(shù)的最值，再分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的求值問題，再通過求導進行求解.

試題解析：(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>1}，f′(x)＝a＋＝.

當a≥0時，f′(x)>0在定義域內(nèi)恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，

當a<0時，由f′(x)＝0得x＝1－>1，

當x∈時，f′(x)>0；

當x∈時，f′(x)<0，

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上，當a≥0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)；

當a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1－)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，＋∞)．

(2)由(1)知當a＝時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)．

所以f(x)max＝f(e)＝＋ln(e－1)<0，

所以|f(x)|≥－f(e)＝－ln(e－1)恒成立，當且僅當x＝e時取等號．

令g(x)＝，則g′(x)＝，

當1<x<e時，g′(x)>0；

當x>e時，g′(x)<0，

從而g(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，

在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，

所以g(x)max＝g(e)＝＋，

所以存在x使得不等式|f(x)|－≤成立，

只需－ln(e－1)－≤＋，

即b≥－－2ln(e－1)．